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By Jan Draisma

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Betrachte dazu 46 7. DIE LIE-ALGEBRA EINER ALGEBRAISCHEN GRUPPE folgendes Diagramm: ˜˜ e G, lg0 β ρ˜g0  ˜ g0 G, /W ˜ , v0 β  / W, β(g0 ). Hier ist lg0 die Linksmultiplikation g → g0 g und ρ˜g0 die ‘Operation’ von g0 auf W : g0 w ρ˜g0 w = , w∈W ξ(g0 w) ˜ von W , wo der Nenner ungleich definiert auf der speziellen offenenen Teilmenge W ˜ ˜ ˜ gegeben durch: 0 ist. Weiter ist G die spezielle offene Teilmenge von G ˜˜ := l−1 (G) ˜ ∩ β −1 (W ˜ ), G g0 so dass alles oben definiert ist. Verifiziere, dass oben stehendes Diagramm kommutiert.

1) Nehme an, dass A = A1 × A2 , mit A1 , A2 Untergruppen. Zeige, dass KA ∼ = KA1 ⊗ KA2 ist. (2) Zeige, dass K(Z/dZ) ∼ = K[T ]/(T d − 1) ist, und dass die letzte Algebra keine nilpotenten Elemente hat. Hinweis: repr¨asentiert p(T ) vom Grad < d ein nilpotentes Element, so hat P l einen Faktor T d − 1. Benutze nun, dass T d − 1 in K genau d verschiedene Nullstellen hat. (3) Folgere mit der Normalform endlich erzeugter abelscher Gruppen, dass KA keine nilpotenten Elemente hat. (4) Beweise, dass G(Z/dZ) eine endliche Gruppe ist, und isomorph zu Z/dZ.

Sei u ∈ G ungleich 1 und setze N := log(u). Nun ist Ga offensichtlich isomorph zu H := (KN, +) und wir zeigen, dass letztere Gruppe isomorph zu G ist: Die Abbildung exp : H → GL(V ) ist ein Homomorphismus algebraischer Gruppen. Somit sind exp(H) und G beide zusammenh¨angende, ein-dimensionale abgeschlossene Untergruppen von GL(V ), die sich aber in der unendlichen Gruppe {. . , u−2 , u−1 , I, u, u2 , . } schneiden. Es folgt G = exp(H), und die Abbildung log : G → H ist der inverse Homomorphismus zu exp.

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Algebraische Gruppen by Jan Draisma


by Donald
4.0

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