Ausgewählte Kapitel der Höheren Mathematik: Vektoranalysis, - download pdf or read online

By Walter Strampp

ISBN-10: 3658055499

ISBN-13: 9783658055493

ISBN-10: 3658055502

ISBN-13: 9783658055509

Animationen im web veranschaulichen z. B. die Wellengleichung durch eine schwingende Membran, die Wärmeleitung durch eine abnehmende Temperaturverteilung und die Potentialgleichung durch ein von der Randbelegung aufgeprägtes Potenzial. Welche Methoden verbergen sich dahinter, wie erzeugt guy diese Animationen? Darauf soll der Leser eine erschöpfende Antwort geben können. Auf ausführliche, formale Beweise wird verzichtet. Die Begriffe werden mittels Beispielen und Graphiken in ihren Grundideen veranschaulicht und motiviert. Der Leser soll Hintergrundwissen und Lösungskompetenz bekommen, damit er sich nicht mit der Formelmanipulation zufrieden geben muss. Studierende sollen in die Lage versetzt werden, Probleme, die sich aus ihrer Bachelor/Masterarbeit oder aus den Anwendungen ergeben, zu bearbeiten.

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Die Basisvektoren bilden ein Orthogonalsystem und besitzen folgende Längen: ∥g (ξ)∥ =  ,  ∥g (ξ)∥ = r ,  ∥g (ξ)∥ = r sin(ϑ) .  Ferner bilden sie in der Reihenfolge g (ξ), g (ξ), g (ξ) ein Rechtssystem. Wir können    auch schreiben:   (x (ξ) e  + x  (ξ) e  + x  (ξ) e  ) , r  g (ξ) = √    (x (ξ)) + (x  (ξ)) g (ξ) =  ⋅ (x  (ξ) x  (ξ) e  + x  (ξ) x  (ξ) e  − (x  (ξ)) + (x  (ξ)) ) e  , g (ξ) = −x  (ξ) e  + x  (ξ) e  .  Hierbei benutzen wir: (sin(ϑ)) = bzw (Abb.

Stufe mit kontravarianten Komponenten erklären. Definition: Kovariante Ableitung eines kontravarianten Vektorfelds Die kovariante Ableitung des kontravarianten Vektorfelds T(ξ) = t i (ξ) g (ξ) i wird erklärt durch ∇T(ξ) = t i ∣ j (ξ) g j (ξ) ⊗ g (ξ) , i i t i ∣ j (ξ) = t i, j (ξ) + Γjk (ξ) t k (ξ) . Bei der partiellen Ableitung der Komponenten t i (ξ) bekommen wir einen Summanden, der das tensorielle Transformationsverhalten zerstört. Diese Störung wird gerade durch den i (ξ) t k (ξ) behoben. Der Übergang in ein anderes Koordinatensystem Korrekturterm Γjk ˜ = ˜t i ( ξ) ˜ + Γ˜ i ( ξ) ˜ t˜k ( ξ) ˜ ˜t i ∣ j ( ξ) ,j jk 58 1 Vektoranalysis muss durch tensorielle Transformation erfolgen: r ˜i ˜ = ∂ ξ (ξ) ∂ξ ( ξ) ˜ t k ∣r (ξ) .

Stufe und ein Vektorfeld: T(ξ) = t i j (ξ) g i (ξ) ⊗ g j (ξ) , U(ξ) = u k (ξ) g (ξ) . k Durch Produktbildung erhalten wir einen Tensor 4. Stufe: V(ξ) = T(ξ) ⊗ U(ξ) ⊗ U(ξ) = t i j (ξ) u k (ξ) u l (ξ) g i (ξ) ⊗ g j (ξ) g (ξ) ⊗ g (ξ) . k l mit den Komponenten v iklj (ξ) = t i j (ξ) u k (ξ) u l (ξ) . Zweimal Verjüngen ergibt das Skalarenfeld: Q(ξ) = t i j (ξ) u i (ξ) u j (ξ) . Dieses Skalarenfeld nennt man Quadratische Form. Eine quadratische Form ist invariant gegenüber Koordinatentransformationen.

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Ausgewählte Kapitel der Höheren Mathematik: Vektoranalysis, Spezielle Funktionen, Partielle Differentialgleichungen by Walter Strampp


by Charles
4.1

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