By Claude Chevalley, Pierre E. Cartier, P. Cartier, A. Grothendieck, M. Lazard

ISBN-10: 3540230319

ISBN-13: 9783540230311

Le texte de cet ouvrage correspond au Séminaire dirigé par Claude Chevalley, à l'Ecole Normale Supérieure de Paris, pendant les années universitaires 1956/57 et 1957/58.

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Proposition 1. – Pour qu’un groupe alg´ebrique soit isomorphe ` a un groupe lin´eaire, il faut et il suﬃt que ce soit un ensemble alg´ ebrique aﬃne. 2 Sous-groupes ferm´es d’un groupe alg´ebrique aﬃne 43 C’est ´evidemment n´ecessaire, puisque GL(n, K) est un ensemble alg´ebrique aﬃne, et qu’il en est donc de mˆeme de toute partie ferm´ee de GL(n, K). Supposons inversement G aﬃne ; alors A(G) est une alg`ebre a` engendrement ﬁni, et, compte tenu du lemme 2, il existe donc un sous-espace vectoriel V de dimension ﬁnie de A(G), engendrant l’alg`ebre A(G), et invariant sous les Rs .

U mhj m−1 = hj . Or on a On a hj ∈ N0 , d’o` mhm−1 = (m, h)h hj = mhj m−1 ≡ (m, h)j hj (mod H ) . Ainsi (m, h)j ∈ H et de mˆeme, pour n ∈ N , (n, h)i ∈ H . La relation (m, nk ) = (m, nk−1 )(nk−1 , (m, n))(m, n) montre par r´ecurrence que k−1 (3) (m, n ) ≡ (m, n) k k (nr , (m, n)) (mod H ) . r=1 Pour k = j, (m, nk ) = 1 puisque nj ∈ N0 . Faisons k = j dans (3), puis ´elevons `a la puissance i. Compte tenu des relations (nr , (m, n))i ∈ H , il vient (m, n)ij ∈ H , ce qui prouve que (m, n) est d’ordre ﬁni modulo H .

Nilpotent, r´esoluble) si et seulement si le groupe alg´ebrique A poss`ede cette propri´et´e. 5 Homomorphismes de groupes alg´ ebriques Th´ eor` eme 4. e. un homomorphisme en tant que groupes “abstraits” et un morphisme en tant qu’ensembles alg´ebriques). Alors : 1) le noyau N de f est un sous-groupe ferm´e de G ; 2) l’image f (G) est un sous-groupe ferm´e de G , et sa composante neutre est l’image f (G0 ) de la composante neutre de G ; 3) dim N + dim f (G) = dim G. D´emonstration. – Le noyau N est l’image r´eciproque de l’´el´ement neutre e de G .

### Classification des Groupes Algebriques Semi-simples. Collected Works of Claude Chevalley: The Classification of Semi-Simple Algebraic Groups by Claude Chevalley, Pierre E. Cartier, P. Cartier, A. Grothendieck, M. Lazard

by Charles
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